Question

定义在R上的函数f(x)满足f(x)＋f(x＋5)＝16，当x∈(－1,4]时，f(x)＝x²－2^x，则函数f(x)在[0,2013]上的零点个数是________．

Answer 1

604

[解析]　由f(x)＋f(x＋5)＝16，可知f(x－5)＋f(x)＝16，则f(x＋5)－f(x－5)＝0，所以f(x)是以10为周期的周期函数．∵x∈(－1,4]时，x²∈[0,16]，2^x∈(，16]，∴x²－2^x<16，∴x∈(－1,4]时，f(x)<16.

∴当x∈(4,9]时，x－5∈(－1,4]，∴f(x－5)<16，

f(x)＝16－f(x＋5)＝16－f(x－5)>0，∴f(x)在(4,9]上无零点，因此在一个周期(－1,9]上，函数f(x)＝x²－2^x在区间(－1,4]内有3个零点，在(4,9]区间内无零点，故f(x)在一个周期内仅有3个零点，由于区间(3,2013]中包含201个周期，且在区间[0,3]内也存在一个零点x＝2，故f(x)在[0,2013]上的零点个数为3×201＋1＝604.