Question

12．已知函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x^2}-2x+2，x≥a\\ 1-x，x＜a\end{array}\right.$（其中a＞0），若$f（1）+f（-a）=\frac{5}{2}$，则实数a的值为$\frac{1}{2}$或$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 根据x≥a≥1，x≥a＞1，a≤x＜1三种情况分类讨论，能求出a的值．

解答 解：∵函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x^2}-2x+2，x≥a\\ 1-x，x＜a\end{array}\right.$（其中a＞0），$f（1）+f（-a）=\frac{5}{2}$，
∴当x≥a≥1时，
f（1）=1-2+2=1，
f（-a）=1-（-a）=1+a，
∴f（1）+f（-a）=1+1+a=$\frac{5}{2}$，解得a=$\frac{1}{2}$，不成立；
当x≥a＞1时，
f（1）=1-1=0，
f（-a）=1-（-a）=1+a，
∴f（1）+f（-a）=0+1+a=$\frac{5}{2}$，解得a=$\frac{3}{2}$．
当a≤x＜1时，
f（1）=1-2+2=1，
f（-a）=1-（-a）=1+a，
∴f（1）+f（-a）=1+1+a=$\frac{5}{2}$，解得a=$\frac{1}{2}$．
综上，a的值为$\frac{1}{2}$或$\frac{3}{2}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$或$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查函数值的求法及应用，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．