Question

已知在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满足4cosC+cos2C=4cosCcos²

C

2

．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）若点D为边BC的中点，且AD=2，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

考点：余弦定理

专题：计算题,解三角形

分析：（Ⅰ）由倍角公式化简已知整理可得cosC=

1

2

，由0＜C＜π，可得C的值．
（Ⅱ）在△ADC中，由余弦定理可得：AD²=AC²+CD²-2AC•CDcosC，即有：4=b²+（

a

2

）²-

ab

2

≥2

a2b2 4

-

ab

2

=

ab

2

，所以ab≤8，由面积公式即可得解．

解答： 解：（Ⅰ）由4cosC+cos2C=4cosCcos²

C

2

．
可得：4cosC+2cos²C-1=2cosC（1+cosC）…3分
解得：cosC=

1

2

，由0＜C＜π，可得C=

π

3

…6分
（Ⅱ）在△ADC中，AD²=AC²+CD²-2AC•CDcosC
即有：4=b²+（

a

2

）²-

ab

2

，…9分
≥2

a2b2 4

-

ab

2

=

ab

2

，所以ab≤8，当且仅当a=4，b=2时取等号…12分
此时S_△ABC=

1

2

absinC=

3

4

ab，其最大值为2

3

…15分

点评：本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式，基本不等式的应用，属于基础题．