题目内容
17．已知双曲线M：x2-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1与双曲线的一条渐近线平行的直线与另一条渐近线交于点P，若点P在以原点为圆心，双曲线M的虚轴长为半径的圆内，则b2的取值范围是（ ）| A． | （7+4$\sqrt{3}$，+∞） | B． | （7-4$\sqrt{3}$，+∞） | C． | （7-4$\sqrt{3}$，7+4$\sqrt{3}$） | D． | （0，7-4$\sqrt{3}$）∪（7+4$\sqrt{3}$，+∞） |
分析 根据双曲线渐近线的方程求出交点P的坐标，结合点与圆的关系建立不等式关系进行求解即可．
解答 解：过F1（-c，0）且与渐近线y=bx平行的直线为y=b（x+c），
与另外一条渐近线y=-bx联立得$\left\{\begin{array}{l}{y=b（x+c）}\\{y=-bx}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{c}{2}}\\{y=\frac{bc}{2}}\end{array}\right.$，即P（-$\frac{c}{2}$，$\frac{bc}{2}$），
以原点为圆心，双曲线M的虚轴长为半径的圆的方程为x2+y2=4b2，
∴（-$\frac{c}{2}$）2+（$\frac{bc}{2}$）2＜4b2，即c2+b2c2＜16b2，
把c2=b2+1代入并整理得b4-14b2+1＜0，
得7-4$\sqrt{3}$＜b2＜7+4$\sqrt{3}$，
即b2的取值范围是（7-4$\sqrt{3}$，7+4$\sqrt{3}$），
故选：C
点评 本题主要考查双曲线的方程和性质，根据渐近线方程求出交点坐标，结合点与圆的位置关系建立不等式关系是解决本题的关键．
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| A． | $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{12}=1$ | B． | $\frac{x^2}{12}-\frac{y^2}{4}=1$ | C． | $\frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{1}=1$ | D． | ${x^2}-\frac{y^2}{3}=1$ |
在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，PD⊥平面ABCD，点D1为棱PD的中点，过D1作与平面ABCD平行的平面与棱PA，PB，PC相交于A1，B1，C1，∠BAD=60°．
9．已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，球O的表面积为16π，△ABC是边长为3的正三角形，若SC⊥AB，SA⊥BC，则三棱锥S-ABC的体积的最大值为（ ）
| A． | $\frac{\sqrt{3}}{4}$ | B． | $\frac{3\sqrt{3}}{4}$ | C． | $\frac{9\sqrt{3}}{4}$ | D． | $\frac{27\sqrt{3}}{4}$ |
6．双曲线$\frac{{x}^{2}}{3}$-y2=1的焦点F到其渐近线的距离为（ ）
| A． | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | B． | 1 | C． | $\sqrt{3}$ | D． | 2 |