Question

设f（x）=e^x（ax²+x+1），且曲线y=f（x）在x=1处的切线与x轴平行．
（1）求a的值，并讨论f（x）的单调性；
（2）证明：当θ∈[0，

π

2

]时，|f(cosθ)-f(sinθ)|＜2．

Answer 1

（Ⅰ）f'（x）=e^x（ax²+x+1+2ax+1）．
由条件知，f'（1）=0，故a+3+2a=0?a=-1．
于是f'（x）=e^x（-x²-x+2）=-e^x（x+2）（x-1）．
故当x∈（-∞，-2）∪（1，+∞）时，f'（x）＜0；
当x∈（-2，1）时，f'（x）＞0．
从而f（x）在（-∞，-2），（1，+∞）单调减少，在（-2，1）单调增加．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）在[0，1]单调增加，
故f（x）在[0，1]的最大值为f（1）=e，
最小值为f（0）=1．
从而对任意x₁，x₂∈[0，1]，有|f（x₁）-f（x₂）|≤e-1＜2．
而当θ∈[0，

π

2

]时，cosθ，sinθ∈[0，1]．
从而|f（cosθ）-f（sinθ）|＜2