Question

如果在（a，b）（a＜b）上的函数f（x），对于?x₁，x₂∈（a，b）都有f（

x1+x2

2

）＜

1

2

[f(x1)+f(x2)]（x₁≠x₂），则称f（x）在（a．b）上是凹函数，设f（x）在（a，b）上可导，其函数f′（x）在（a，b）上也可导，并记[f′（x）]′=f″（x）
（1）如果f（x）在（a，b）上f″（x）＞0，证明：f（x）在（a，b）上是凹函数
（2）若f（x）=（x²-2ax-a+a²）e^x-lnx，用（1）的结论证明：当a＜-2时f（x）在（0，+∞）上是凹函数．

Answer 1

分析：（1）根据在（a，b）上f''（x）＞0，则f′（x）在（a，b）上是增函数，然后可证∴

∫	x1+x2 2 x1

f′(x)dx＜

∫	x2 x1+x2 2

f′(x)dx，从而得到f(

x1+x2

2

)＜

1

2

[f(x1)+f(x2)]，即可证得结论；
（2）先求f''（x），然后判定其符号，根据（1）的结论可证得当a＜-2时f（x）在（0，+∞）上是凹函数．

解答：（1）证明：∵在（a，b）上f''（x）＞0∴f′（x）在（a，b）上是增函数，不妨设x₁＜x₂
∴

∫	x1+x2 2 x1

f′(x)dx＜

∫	x1+x2 2 x1

f′(

x1+x2

2

)dx=

x2-x1

2

f′(

x1+x2

2

)

∫	x2 x1+x2 2

f′(x)dx＞

∫	x2 x1+x2 2

f′(

x1+x2

2

)dx=

x2-x1

2

f′(

x1+x2

2

)
∴

∫	x1+x2 2 x1

f′(x)dx＜

∫	x2 x1+x2 2

f′(x)dx
∴f(x)

.

x1+x2 2 x1

＜f(x)

.

x2 x1+x2 2

从而f(

x1+x2

2

)＜

1

2

[f(x1)+f(x2)]（6分）
（2）f′（x）=[x2+2(1-a)x-3a+a2]ex-

1

x

f''（x）=[x2+2(2-a)x+2-5a+a2]ex+

1

x2

（2分）
令F（x）=x²+2（2-a）x+2-5a+a²
△=4[（a-2）²-a²+5a-2]=4（a+2）
∵a＜-2∴△＜0                         （4分）
∴F（x）＞0，从而f''（x）＞0
∴f（x）在（0，+∞）上是凹函数                                   （6分）

点评：本题主要考查了定积分的应用，以及利用导数研究函数的单调性，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．