题目内容

设f（x）=ex-ax-1
（1）若f（x）在[-∞，0]上单调递减，在[0，+∞]上单调递增，求实数a的取值范围；
（2）设g（x）=-x2+2x-2，在（1）的条件下，求证：g（x）的图象恒在f（x）图象的下方．
分析：（1）利用函数的单调性，可得f′（0）=0，即可求实数a的取值范围；
（2）只需证明f（x）min＞g（x）max，即可得到结论．
解答：（1）解：求导数可得f′（x）=ex-a
∵f（x）在（-∞，0]上单调递减，在[0，+∞）上单调递增，
∴f′（0）=e0-a=0，
∴a=1；
（2）证明：由（1）知，f（x）min=0
∵g（x）=-x2+2x-2=-（x-1）2-1，∴x=1时，g（x）max=-1
∵f（x）min＞g（x）max，
∴g（x）的图象恒在f（x）图象的下方．
点评：本题考查函数的单调性，考查函数的最值，考查学生的计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
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设f（x）=ex-a（x+1）．
（1）若a＞0，f（x）≥0对一切x∈R恒成立，求a的最大值；
（2）设g(x)=f(x)+
a
ex
，A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)是曲线y=g（x）上任意两点，若对任意的a≤-1，直线AB的斜率恒大于常数m，求m的取值范围；
（3）是否存在正整数a．使得1n+3n+…+(2n-1)n＜
e
e-1
(an)n对一切正整数n都成立？若存在，求a的最小值；若不存在，请说明理由．
设f（x）=ex-a（x+1）．
（1）若a＞0，f（x）≥0对一切x∈R恒成立，求a的最大值．
（2）设g（x）=f（x）+
a
ex
，且A（x1，y1），B（x2，y2）（x1≠x2）是曲线y=g（x）上任意两点，若对任意的a≤-1，直线AB的斜率恒大于常数m，求m的取值范围；
（3）求证：1n+3n+…+（2n-1）n＜
e
e-1
•(2n)n．
设f（x）=ex-a（x+1）．
（1）若a＞0，f（x）≥0对一切x∈R恒成立，求a的最大值；
（2）设是曲线y=g（x）上任意两点，若对任意的a≤-1，直线AB的斜率恒大于常数m，求m的取值范围；
（3）是否存在正整数a．使得对一切正整数n都成立？若存在，求a的最小值；若不存在，请说明理由．
设f（x）=ex-a（x+1）．
（1）若a＞0，f（x）≥0对一切x∈R恒成立，求a的最大值；
（2）设是曲线y=g（x）上任意两点，若对任意的a≤-1，直线AB的斜率恒大于常数m，求m的取值范围；
（3）是否存在正整数a．使得对一切正整数n都成立？若存在，求a的最小值；若不存在，请说明理由．
设f（x）=ex-a（x+1）．
（1）若a＞0，f（x）≥0对一切x∈R恒成立，求a的最大值；
（2）设是曲线y=g（x）上任意两点，若对任意的a≤-1，直线AB的斜率恒大于常数m，求m的取值范围；
（3）是否存在正整数a．使得对一切正整数n都成立？若存在，求a的最小值；若不存在，请说明理由．

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