题目内容
（2013•南通二模）已知△ABC的内角A的大小为120°，面积为
．
（1）若AB=2
，求△ABC的另外两条边长；
（2）设O为△ABC的外心，当BC=
时，求
•
的值．
| 3 |
（1）若AB=2
| 2 |
（2）设O为△ABC的外心，当BC=
| 21 |
| AO |
| BC |
分析：（1）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，由三角形的面积公式及已知AB，可求b，c，然后再利用余弦定理可求
（2）由（1）可知BC，利用余弦定理可求b，设BC的中点为D，则
=
+
，结合O为△ABC的外心，可得
•
=0，从而可求
（2）由（1）可知BC，利用余弦定理可求b，设BC的中点为D，则
| AO |
| AD |
| DO |
| DO |
| BC |
解答：解：（1）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
于是
=
bcsinA=
bc，所以bc=4． …（3分）
因为c=AB=2
，所以b=CA=
．
由余弦定理得BC=a=
=
=
=
． …（6分）
（2）由BC=
得b2+c2+4=21，即b2+
-17=0，解得b=1或4．…（8分）
设BC的中点为D，则
=
+
，
因为O为△ABC的外心，所以
•
=0，
于是
•
=
•
=
(
+
)•(
-
)=
．…（12分）
所以当b=1时，c=4，
•
=
=-
；
当b=4时，c=1，
•
=
=
．…（14分）
于是
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 4 |
因为c=AB=2
| 2 |
| 2 |
由余弦定理得BC=a=
| b2+c2-2bccosA |
| b2+c2+4 |
| 2+8+4 |
| 14 |
（2）由BC=
| 21 |
| 16 |
| b2 |
设BC的中点为D，则
| AO |
| AD |
| DO |
因为O为△ABC的外心，所以
| DO |
| BC |
于是
| AO |
| BC |
| AD |
| BC |
| 1 |
| 2 |
| AB |
| AC |
| AC |
| AB |
| b2-c2 |
| 2 |
所以当b=1时，c=4，
| AO |
| BC |
| b2-c2 |
| 2 |
| 15 |
| 2 |
当b=4时，c=1，
| AO |
| BC |
| b2-c2 |
| 2 |
| 15 |
| 2 |
点评：本题主要考查了三角形的面积公式及余弦定理的应用．还考查了向量的基本运算及性质的应用．
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