Question

（2013•南通二模）选修4-2：矩阵与变换
设曲线2x²+2xy+y²=1在矩阵M=

m 0 n 1

（m＞0）对应的变换作用下得到的曲线为x²+y²=1，求矩阵M的逆矩阵M^-1．

Answer 1

分析：确定点在矩阵M=

m 0 n 1

(m＞0)对应的变换作用下得到点坐标之间的关系，利用变换前后的方程，即可求得矩阵M；再求出对应行列式的值，即可得到M的逆矩阵．

解答：解：设曲线2x²+2xy+y²=1上任一点P（x，y）在矩阵M对应的变换下的像是P'（x'，y'），
由

x′ y′

=

m 0 n 1

x y

=

mx nx+y

，得

x′=mx y′=nx+y

因为P'（x'，y'）在圆x²+y²=1上，所以（mx）²+（nx+y）²=1，化简可得（m²+n²）x²+2nxy+y²=1．…（3分）
依题意可得m²+n²=2，2n=2，m=1，n=1或m=-1，n=1，
而由m＞0可得m=1，n=1．…（6分）
故M=

1 0 1 1

，
故矩阵M的逆矩阵M^-1=

1 0 -1 1

．…（10分）

点评：本题考查矩阵与变换，考查逆矩阵的求法，确定变换前后坐标之间的关系是解题的关键．