Question

已知函数f（x）=[ax²+（a-1）²x+a-（a-1）²]e^x  （其中a∈R）．若x=0为f（x）的极值点．解不等式f（x）＞（x-1）（

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2

x²+x+1）．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：由于x=0为f（x）的极值点，可得f′（0）=0，得到a=0．当a=0时，f（x）＞（x-1）（

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x²+x+1）?（x-1）•e^x＞(x-1)(

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x2+x+1)，整理得（x-1）[ex-(

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x2+x+1)]＞0．令g（x）=e^x-(

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2

x2+x+1)，利用导数研究其单调性极值即可得出．

解答： 解：∵函数f（x）=[ax²+（a-1）²x+a-（a-1）²]e^x，
∴f′（x）=[ax²+（a²+1）x+a]e^x，
∵x=0为f（x）的极值点，
∴f′（0）=ae⁰=0，解得a=0．
检验，当a=0时，f′（x）=xe^x，当x＜0时，f′（x）＜0，当x＞0时，f′（x）＞0．
∴x=0为f（x）的极值点，故a=0．
当a=0时，f（x）＞（x-1）（

1

2

x²+x+1）?（x-1）•e^x＞(x-1)(

1

2

x2+x+1)，
整理得（x-1）[ex-(

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x2+x+1)]＞0，
即

x-1＞0 ex-( 1 2 x2+x+1)＞0

或

x-1＜0 ex-( 1 2 x2+x+1)＜0

 
令g（x）=e^x-(

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x2+x+1)，h（x）=g′（x）=e^x-（x+1），h′（x）=e^x-1，
当x＞0时h′（x）=e^x-1＞0；当x＜0时，h′（x）＜0．
∴h（x）在（-∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增，∴h（x）＞h（0）=0．
即g′（x）＞0，∴g（x）在R上单调递增，g（0）=0．
故ex-(

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2

x2+x+1)＞0?x＞0；ex-(

1

2

x2+x+1)＜0?x＜0．
∴原不等式的解集为{x|x＜0或x＞1}．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了利用单调性解不等式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．