Question

1．已知F₁，F₂为双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{16}$=1（a＞0）的左右焦点，点A在双曲线的右支上，点P（7，2）是平面内一定点，若对任意实数m，直线4x+3y+m=0与双曲线C至多有一个公共点，则|AP|+|AF₂|的最小值为（　　）

• A． 2$\sqrt{37}$-6
• B． 10-3$\sqrt{5}$
• C． 8-$\sqrt{37}$
• D． 2$\sqrt{5}$-2

Answer 1

分析 利用对任意实数m，直线4x+3y+m=0与双曲线C至多有一个公共点，得出直线4x+3y+m=0与双曲线的渐近线方程为y=±$\frac{4}{a}$x，重合或平行，求出a，再利用双曲线的定义进行转化，即可得出结论．

解答 解：∵双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{16}$=1（a＞0），
∴双曲线的渐近线方程为y=±$\frac{4}{a}$x，
∵对任意实数m，直线4x+3y+m=0与双曲线C至多有一个公共点，
∴直线4x+3y+m=0与双曲线的渐近线方程为y=±$\frac{4}{a}$x，重合或平行，
∴a=3，
∴c=5，
∴F₁为（-5，0），
∵P（7，2），∴|PF₁|=$\sqrt{（7+5）^{2}+4}$=2$\sqrt{37}$，
∴|AP|+|AF₂|=|AP|+|AF₁|-6≥|PF₁|-6=2$\sqrt{37}$-6
∴|AP|+|AF₂|的最小值为2$\sqrt{37}$-6，
故选A．

点评 本题考查双曲线的方程与性质，考查双曲线定义的运用，考查学生的计算能力，正确转化是关键．