Question

某个实心零部件的形状是如下图所示的几何体，其下部是底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形的四棱台，上部是一个底面与四棱台的上底面重合，侧面是全等的矩形的四棱柱.

（1）证明：直线平面；
（2）现需要对该零部件表面进行防腐处理.已知，，，（单位：），每平方厘米的加工处理费为元，需加工处理费多少元？

Answer 1

（1）详见解析；（2）所需加工处理费为元.

试题分析：（1）先证，再证平面，从而得到平面，在证明平面的过程中，利用四边形为正方形得到，再由直棱柱的性质得到平面，从而得到，再利用直线与平面垂直的判定定理得到平面；（2）先计算该几何体的表面积，然后利用单价乘以表面积便可以得到加工处理费.
试题解析：（1）因为四棱柱ABCD－A₂B₂C₂D₂的侧面是全等的矩形，
所以AA₂⊥AB，AA₂⊥AD，又因为AB∩AD＝A，所以AA₂⊥平面ABCD.
连接BD，因为BD?平面ABCD，所以AA₂⊥BD.
因为底面ABCD是正方形，所以AC⊥BD.
根据棱台的定义可知，BD与B₁D₁共面．
又已知平面ABCD∥平面A₁B₁C₁D₁，且平面BB₁D₁D∩平面ABCD＝BD，
平面BB₁D₁D∩平面A₁B₁C₁D₁＝B₁D₁，所以B₁D₁∥BD.于是
由AA₂⊥BD，AC⊥BD，B₁D₁∥BD，可得AA₂⊥B₁D₁，AC⊥B₁D₁，
又因为AA₂∩AC＝A，所以B₁D₁⊥平面ACC₂A₂.
（2）因为四棱柱ABCD－A₂B₂C₂D₂的底面是正方形，侧面是全等的矩形，
所以S₁＝S_{四棱柱上底面}＋S_{四棱柱侧面}＝(A₂B₂)²＋4AB·AA₂＝10²＋4×10×30＝1 300(cm²)．
又因为四棱台A₁B₁C₁D₁－ABCD的上、下底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形．
所以S₂＝S_{四棱台下底面}＋S_{四棱台侧面}
＝(A₁B₁)²＋4×(AB＋A₁B₁)h_{等腰梯形的高}
＝20²＋4×(10＋20)
＝1120(cm²)．
于是该实心零部件的表面积为S＝S₁＋S₂＝1300＋1120＝2420(cm²)，
故所需加工处理费为0.2S＝0.2×2420＝484(元)．