Question

如图所示，正方形与直角梯形所在平面互相垂直，，， .

(1)求证：平面；
(2)求四面体的体积.

Answer 1

(1)证明：见解析；（2）四面体的体积.

试题分析：（1）设正方形ABCD的中心为O，取BE中点G，连接FG，OG，由中位线定理，我们易得四边形AFGO是平行四边形，即FG∥OA，由直线与平面平行的判定定理即可得到AC∥平面BEF；
（2）由已知中正方形ABCD与直角梯形ADEF所在平面互相垂直，∠ADE=90°，我们可以得到AB⊥平面ADEF，结合DE=DA=2AF=2．分别计算棱锥的底面面积和高，代入棱锥体积公式即可求出四面体BDEF的体积．（1）的关键是证明出FG∥OA，（2）的关键是得到AB⊥平面ADEF，即四面体BDEF的高为AB．
试题解析：(1)证明：设，取中点，
连结，所以，
因为，，所以，
从而四边形是平行四边形，.             2分
因为平面,平面,                4分
所以平面，即平面.           6分
（2）解：因为平面平面，,
所以平面.                                  8分
因为,,，
所以的面积为，                    10分
所以四面体的体积.           12分