Question

1．已知函数f（x）=lnx，g（x）=x-1．
（Ⅰ）求函数y=f（x）图象在x=1处的切线方程；
（Ⅱ）证明：f（x）≤g（x）；
（Ⅲ）若不等式f（x）≤ag（x）对于任意的x∈（1，+∞）均成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （I）利用导数的几何意义可得切线的斜率，即可得出切线的方程．
（Ⅱ）设h（x）=f（x）-g（x）=lnx-x+1，利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．
（Ⅲ）?x∈（1，+∞），f（x）＞0，g（x）＞0．对a分类讨论，利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=$\frac{1}{x}$，∴f′（1）=1，又f（1）=0，
得切线l：y-0=1×（x-1），即y=x-1．
证明：（Ⅱ）设h（x）=f（x）-g（x）=lnx-x+1，则h′（x）=$\frac{1}{x}$-1，令h′（x）=0，得x=1．

x	（0，1）	1	（1，+∞）
h′（x）	+	0极大值	-
h（x）	单调递增	0	单调递减

∴h（x）≤h（x）_max=h（1）=0，即f（x）≤g（x）．
解：（Ⅲ）?x∈（1，+∞），f（x）＞0，g（x）＞0．
当a≥1时，f（x）≤g（x）≤ag（x）；
当a≤0时，f（x）＞0，g（x）≤0不满足不等式；
当0＜a＜1时，设u（x）=f（x）-ag（x）=lnx-a（x-1），u′（x）=$\frac{1}{x}$-a，令u′（x）=0，得x=$\frac{1}{a}$．

x	$（0，\frac{1}{a}）$	$\frac{1}{a}$	$（\frac{1}{a}，+∞）$
u′（x）	+	0	-
u（x）	单调递增	0	单调递减

∴u（x）_max=u$（\frac{1}{a}）$＞u（1）=0．
综上所述实数a的取值范围为[1，+∞）．

点评 本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值、导数的几何意义，考查了分类讨论、推理能力与计算能力，属于难题．