Question

已知函数．

（1）设，，求的单调区间；

（2）若对任意，，试比较与的大小．

 

Answer 1

（1）单调递减区间是，单调递增区间是；（2）．

【解析】

试题分析：（1）根据题意，可以考虑利用导数来研究的单调性，当，时：，从而可得当时，，单调递减

当时，，单调递增，因此单调递减区间是，单调递增区间是；（2）由条件可知为极小值点，从而有，，即，接下来考虑用作差法比较与的大小关系，，因此构造函数，通过导数研究的单调性，从而判断的取值情况：，

令，得，当时，，单调递增，当时，，单调递减，，，即，故．

试题解析：（1）由，，得， 2分

∵，，∴， 3分

令，得，

当时，，单调递减， 4分

当时，，单调递增，

∴单调递减区间是，单调递增区间是； 6分

（2）由题意可知，在处取得最小值，即是的极值点，

∴，∴，即， 8分

令，则，

令，得， 10分

当时，，单调递增，

当时，，单调递减， 12分

∴，

∴，即，故． 14分．

考点：1．利用导数研究函数的单调性；2．函数与不等式综合．