题目内容
8．
如图①，在△ABC中，已知AB=15，BC=14，CA=13．将△ABC沿BC边上的高AD折成一个如图②所示的四面体A-BCD，使得图②中的BC=11．（1）求二面角B-AD-C的平面角的余弦值；
（2）在四面体A-BCD的棱AD上是否存在点P，使得$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{PC}$=0？若存在，请指出点P的位置；若不存在，请给出证明．
分析 （1）根据图象折之前和折之后的边长关系，结合二面角的定义进行求解．
（2）假设在四面体A-BCD的棱AD上存在点P，使得$\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{PC}=0$根据向量数量积的定义结合向量的运算法则进行化简求解．
解答 解：（1）由已知AD⊥BD，AD⊥CD，
故二面角B-AD-C的平面角为∠BDC，
在图①，设BD=x，AD=h，则CD=14-x，
在△ABD与△ACD中，分别用勾股定理得x2+h2=152，（14-x）2+h2=132，
得x=9，h=12，从而AD=12，BD=9，CD=5，
在图②的△BCD中，由余弦定理得BC2=BD2+CD2-2BD•CDcos∠BDC，
即112=92+52-2×9×5cos∠BDC，则cos∠BDC=-$\frac{1}{6}$，
即二面角B-AD-C的平面角的余弦值是-$\frac{1}{6}$．
（2）假设在四面体A-BCD的棱AD上存在点P，使得$\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{PC}=0$，
则0=$\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{PC}$=（$\overrightarrow{PD}$+$\overrightarrow{DB}$）•（$\overrightarrow{PD}$+$\overrightarrow{DC}$）=$\overrightarrow{PD}$2+$\overrightarrow{DB}$•$\overrightarrow{PD}$+$\overrightarrow{PD}$•$\overrightarrow{DC}$+$\overrightarrow{DB}$•$\overrightarrow{DC}$=$\overrightarrow{PD}$2+0+0+9×5×（-$\frac{1}{6}$）=$\overrightarrow{PD}$2-$\frac{15}{2}$，
则|$\overrightarrow{PD}$|=$\frac{\sqrt{30}}{2}$＜12，符号题意，
即在棱AD上存在点P，使得$\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{PC}=0$，此时|$\overrightarrow{PD}$|=$\frac{\sqrt{30}}{2}$．
点评 本题主要考查二面角的计算以及向量数量积的应用，考查学生的运算和推理能力．
同步练习强化拓展系列答案
如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1B1B为正方形，BB1C1C为菱形，∠BB1C1=60°，平面AA1B1B⊥平面BB1C1C．
如图，三棱锥A-BCD中，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且BC=BD=4，AC=4$\sqrt{2}$，CD=4$\sqrt{3}，∠ACB={45°}$，E，F分别为AC，DC的中点．
如图，已知AB=AC，圆O是△ABC的外接圆，CD⊥AB，CE是圆O的直径．过点B作圆O的切线交AC的延长线于点F．
| A． | 81π | B． | 125π | C． | （41+7$\sqrt{145}$）π | D． | （73+7$\sqrt{145}$）π |
一几何体的三视图如图所示，若将该几何体切割成长方体，则长方体的最大体积与该几何体的体积之比为（ ）| A． | $\frac{2}{3}$ | B． | $\frac{36}{41}$ | C． | $\frac{18}{23}$ | D． | $\frac{9}{11}$ |
| A． | -1 | B． | 0 | C． | 1 | D． | $\frac{1}{2}$ |