Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

3

2

，以原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线 x+y+

2

=0相切．A、B是椭圆的左右顶点，直线l 过B点且与x轴垂直，如图．
（I）求椭圆的标准方程；
（II）设G是椭圆上异于A、B的任意一点，GH丄x轴，H为垂足，延长HG到点Q 使得HG=GQ，连接AQ并延长交直线l于点M，点N为MB的中点，判定直线QN与以AB为直径的圆O的位置关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用原点到直线x+y+

2

=0的距离等于b求解b的值，再结合离心率及 a²=b²+c² 可求得a的值，所以椭圆的标准方程可求；
（Ⅱ）由（Ⅰ）求出A，B的坐标，设出G点坐标并用G的坐标表示Q的坐标，由G在椭圆上得到G点的坐标满足的函数关系式，写出直线AQ的方程，和x=2联立求讲解M的坐标，利用中点坐标公式得到N的坐标，求出QN的方程并化为一般式，利用点到直线的距离求原点到直线QN的距离，从而得到直线QN与以AB为直径的圆O相切．

解答：解：（Ⅰ）由题可得：e=

c

a

=

3

2

．
∵以原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x+y+

2

=0相切，
∴

|0+0+ 2 |

12+12

=b，解得b=1．
再由 a²=b²+c²，可解得：a=2．
∴椭圆的标准方程：

x2

4

+y2=1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：A（-2，0），B（2，0），直线l的方程为：x=2．
设G（x₀，y₀）（y₀≠0），于是Q（x₀，2y₀），
且有

x02

4

+y02=1，即4y₀²=4-x₀²．
∴直线AQ的方程为：y=

2y0

x0+2

(x+2)，
由

y= 2y0 x0+2 (x+2) x=2

，解得：

x=2 y= 8y0 x0+2

，即M(2，

8y0

x0+2

)，
∴N(2，

4y0

x0+2

)．
∴直线QN的斜率为：kQN=

4y0 x0+2 -2y0

2-x0

=

-2x0y0

4-x02

=

-2x0y0

4y02

=

-x0

2y0

，
∴直线QN的方程为：y-

4y0

x0+2

=

-x0

2y0

(x-2)
即

x0

2y0

x+y-

4y0

x0+2

-

x0

y0

=0
∴点O到直线QN的距离为
d=

|0- 4y0 x0+2 - x0 y0 |

( x0 2y0 )2+1

=

| 4y02+x02+2x0 (x0+2)y0 |

x02+4y02 4y02

=2．
∴直线QN与以AB为直径的圆O相切．

点评：本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了学生的运算能力，解决直线与圆锥曲线的位置关系问题时，一般离不开联立方程组，往往有繁杂的计算，所以要仔细运算，该题是难题．