Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的短轴长为2

3

，右焦点F与抛物线y²=4x的焦点重合，O为坐标原点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设A、B是椭圆C上的不同两点，点D（-4，0），且满足

DA

=λ

DB

，若λ∈[

3

8

，

1

2

]，求直线AB的斜率的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先由短轴长为2

3

求出b，再由右焦点F与抛物线y²=4x的焦点重合c，从而得到长半半轴长a，写出椭圆的标准方程．
（2）先AB的方程y=k（x+4），将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用向量坐标公式利用函数的单调性即可求得直线AB的斜率的取值范围，从而解决问题．

解答：解：（1）由已知b=

3

，c=1，a=2，所以椭圆的方程

x2

4

+

y2

3

=1（4分）
（2）

DA

=λ

DB

，D，A，B三点共线，D（-4，0），且直AB的斜率一定存在，所以AB的方程y=k（x+4），
与椭圆的方

x2

4

+

y2

3

=1联立得（3+4k²）y²-24ky+36k²=0
△＞0，k²＜

1

4

．（6分）
A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），y₁+y₂=

24k

3+4k 2

，y₁y₂=

36k 2

3+4k 2

①
又

DA

=λ

DB

得：（x₁+4，y₁）=λ（x₂+4，y₂），y₁=λy₂②．
将②式代入①式，消去y₂得：

16

3+4k 2

=

(1+λ) 2

λ

=

1

λ

+λ+2（9分）
当λ∈[

3

8

，

1

2

]，时，h(λ)=

1

λ

+λ+2是减函数
∴

9

2

≤ 

16

3+4k 2

≤

121

24

，
解得[-

5

6

，-

21

22

]∪[

21

22

，

5

6

]
∴直线AB的斜率的取值范围是[-

5

6

，-

21

22

]∪[

21

22

，

5

6

]（12分）

点评：本题主要考查了椭圆的定义和标准方程、直线与圆锥曲线的综合问题、平面向量的运算等．直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，突出考查了数形结合、函数与方程、等价转化等数学思想方法．