题目内容

已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的短轴长为2,离心率为
2
2
,设过右焦点的直线l与椭圆C交于不同的两点A,B,过A,B作直线x=2的垂线AP,BQ,垂足分别为P,Q.记λ=
AP+BQ
PQ
,若直线l的斜率k≥
3
,则λ的取值范围为
 
分析:根据已知条件求出椭圆C的方程,再由直线l过椭圆C的右焦点,设出直线l的方程,联系椭圆C和直线l的方程组,利用一元二次方程根与系数的关系能求出λ的取值范围.
解答:解:∵椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的短轴长为2,离心率为
2
2

2b=2
c
a
=
2
2
a2=b2+c2
,解得a=
2
,b=c=1,
∴椭圆C:
x2
2
+y2=1

∵过右焦点的直线l与椭圆C交于不同的两点A,B,
∴设直线l的方程为y=k(x-1),
联立
x2
2
+y2=1
y=k(x-1)
,得(2k2+1)x2-4k2x+2k2-2=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),y1>y2
x1+x2=
4k2
2k2+1
,x1x2=
2k2-2
2k2+1

λ=
AP+BQ
PQ
=
2-x1+2-x2
y1-y2

=
4-(x1+x2)
k(x1-1)-k(x2-1)

=
4-
4k2
2k2+1
k
(x1+x2)-4x1x2

=
4-
4k2
2k2+1
k
(
4k2
2k2+1
)2-4×
2k2-2
2k2+1

=
2k2+2
k

=
2+
2
k2

∵k
3

∴当k=
3
时,λmax=
2+
2
3
=
2
6
3

当k→+∞时,λmin
2

∴λ的取值范围是(
2
2
6
3
]

故答案为:(
2
2
6
3
]
点评:本题考查椭圆知识的综合运用,解题时要认真审题,注意挖掘题设中的隐含条件,合理地进行等价转化.
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