题目内容
已知椭圆C:
+
=1(a>b>0)的短轴长为2,离心率为
,设过右焦点的直线l与椭圆C交于不同的两点A,B,过A,B作直线x=2的垂线AP,BQ,垂足分别为P,Q.记λ=
,若直线l的斜率k≥
,则λ的取值范围为 .
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
| ||
2 |
AP+BQ |
PQ |
3 |
分析:根据已知条件求出椭圆C的方程,再由直线l过椭圆C的右焦点,设出直线l的方程,联系椭圆C和直线l的方程组,利用一元二次方程根与系数的关系能求出λ的取值范围.
解答:解:∵椭圆C:
+
=1(a>b>0)的短轴长为2,离心率为
,
∴
,解得a=
,b=c=1,
∴椭圆C:
+y2=1,
∵过右焦点的直线l与椭圆C交于不同的两点A,B,
∴设直线l的方程为y=k(x-1),
联立
,得(2k2+1)x2-4k2x+2k2-2=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),y1>y2,
则x1+x2=
,x1x2=
,
∴λ=
=
=
=
=
=
=
,
∵k≥
,
∴当k=
时,λmax=
=
,
当k→+∞时,λmin→
,
∴λ的取值范围是(
,
].
故答案为:(
,
].
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
| ||
2 |
∴
|
2 |
∴椭圆C:
x2 |
2 |
∵过右焦点的直线l与椭圆C交于不同的两点A,B,
∴设直线l的方程为y=k(x-1),
联立
|
设A(x1,y1),B(x2,y2),y1>y2,
则x1+x2=
4k2 |
2k2+1 |
2k2-2 |
2k2+1 |
∴λ=
AP+BQ |
PQ |
2-x1+2-x2 |
y1-y2 |
=
4-(x1+x2) |
k(x1-1)-k(x2-1) |
=
4-
| ||
k
|
=
4-
| ||||||
k
|
=
| ||
k |
=
2+
|
∵k≥
3 |
∴当k=
3 |
2+
|
2
| ||
3 |
当k→+∞时,λmin→
2 |
∴λ的取值范围是(
2 |
2
| ||
3 |
故答案为:(
2 |
2
| ||
3 |
点评:本题考查椭圆知识的综合运用,解题时要认真审题,注意挖掘题设中的隐含条件,合理地进行等价转化.
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