题目内容

已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)经过点A(1,
3
2
),且离心率e=
3
2

(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)过点B(-1,0)能否作出直线l,使l与椭圆C交于M、N两点,且以MN为直径的圆经过坐标原点O.若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.
分析:(Ⅰ)根据椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)经过点A(1,
3
2
),且离心率e=
3
2
,结合b2=a2-c2,即可求得椭圆C的方程;
(Ⅱ)因为直线l经过椭圆内的点B(-1,0),所以直线l与椭圆恒有两个不同的交点M,N.当直线l的斜率不存在时,其方程是:x=-1,以MN为直径的圆不经过坐标原点O
当直线l的斜率存在时,设方程是y=k(x+1),将直线方程与椭圆方程联立,利用以MN为直径的圆经过坐标原点O,所以
OM
ON
=0,即可求得结论.
解答:解:(Ⅰ)由已知e=
c
a
=
3
2
,即c2=
3
4
a2,b2=a2-c2=
1
4
a2
x2
a2
+
4y2
a2
=1

∵椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)经过点A(1,
3
2
),
1
a2
+
12
4a2
=1

∴a2=2,∴b2=1,
∴椭圆C的方程为
x2
4
+y2=1.
(Ⅱ)因为直线l经过椭圆内的点B(-1,0),所以直线l与椭圆恒有两个不同的交点M,N.
当直线l的斜率不存在时,其方程是:x=-1,代入
x2
4
+y2=1得y=±
3
2
,可知M(-1,
3
2
),N(-1,-
3
2

∴以MN为直径的圆不经过坐标原点O
当直线l的斜率存在时,设方程是y=k(x+1),M(x1,y1),N(x2,y2
y=k(x+1)
x2
4
+y2=1
,可得(1+4k2)x2+8k2x+4k2-4=0
∴x1+x2=
-8k2
1+4k2
,x1•x2=
4k2-4
1+4k2

因为以MN为直径的圆经过坐标原点O,所以
OM
ON
=0.
可得x1x2+y1y2=x1x2+k(x1+1)•k(x2+1)=(1+k2)x1x2+k2(x1+x2)+k2=0.
∴(1+k2)×
4k2-4
1+4k2
+k2×
-8k2
1+4k2
+k2=0.
∴k=±2
综上所述,过点B(-1,0)能作出直线l,使l与椭圆C交于M、N两点,且以MN为直径的圆经过坐标原点O,
方程为y=2x+2或y=-2x-2.
点评:本题考查椭圆的标准方程,考查直线与椭圆的位置关系,考查向量知识的运用,解题的关键是利用以MN为直径的圆经过坐标原点O时,
OM
ON
=0.
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