题目内容
已知椭圆C:
+
=1(a>b>0)经过点A(1,
),且离心率e=
.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)过点B(-1,0)能否作出直线l,使l与椭圆C交于M、N两点,且以MN为直径的圆经过坐标原点O.若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
| ||
2 |
| ||
2 |
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)过点B(-1,0)能否作出直线l,使l与椭圆C交于M、N两点,且以MN为直径的圆经过坐标原点O.若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.
分析:(Ⅰ)根据椭圆C:
+
=1(a>b>0)经过点A(1,
),且离心率e=
,结合b2=a2-c2,即可求得椭圆C的方程;
(Ⅱ)因为直线l经过椭圆内的点B(-1,0),所以直线l与椭圆恒有两个不同的交点M,N.当直线l的斜率不存在时,其方程是:x=-1,以MN为直径的圆不经过坐标原点O
当直线l的斜率存在时,设方程是y=k(x+1),将直线方程与椭圆方程联立,利用以MN为直径的圆经过坐标原点O,所以
•
=0,即可求得结论.
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
| ||
2 |
| ||
2 |
(Ⅱ)因为直线l经过椭圆内的点B(-1,0),所以直线l与椭圆恒有两个不同的交点M,N.当直线l的斜率不存在时,其方程是:x=-1,以MN为直径的圆不经过坐标原点O
当直线l的斜率存在时,设方程是y=k(x+1),将直线方程与椭圆方程联立,利用以MN为直径的圆经过坐标原点O,所以
OM |
ON |
解答:解:(Ⅰ)由已知e=
=
,即c2=
a2,b2=a2-c2=
a2,
∴
+
=1
∵椭圆C:
+
=1(a>b>0)经过点A(1,
),
∴
+
=1
∴a2=2,∴b2=1,
∴椭圆C的方程为
+y2=1.
(Ⅱ)因为直线l经过椭圆内的点B(-1,0),所以直线l与椭圆恒有两个不同的交点M,N.
当直线l的斜率不存在时,其方程是:x=-1,代入
+y2=1得y=±
,可知M(-1,
),N(-1,-
)
∴以MN为直径的圆不经过坐标原点O
当直线l的斜率存在时,设方程是y=k(x+1),M(x1,y1),N(x2,y2)
由
,可得(1+4k2)x2+8k2x+4k2-4=0
∴x1+x2=
,x1•x2=
,
因为以MN为直径的圆经过坐标原点O,所以
•
=0.
可得x1x2+y1y2=x1x2+k(x1+1)•k(x2+1)=(1+k2)x1x2+k2(x1+x2)+k2=0.
∴(1+k2)×
+k2×
+k2=0.
∴k=±2
综上所述,过点B(-1,0)能作出直线l,使l与椭圆C交于M、N两点,且以MN为直径的圆经过坐标原点O,
方程为y=2x+2或y=-2x-2.
c |
a |
| ||
2 |
3 |
4 |
1 |
4 |
∴
x2 |
a2 |
4y2 |
a2 |
∵椭圆C:
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
| ||
2 |
∴
1 |
a2 |
12 |
4a2 |
∴a2=2,∴b2=1,
∴椭圆C的方程为
x2 |
4 |
(Ⅱ)因为直线l经过椭圆内的点B(-1,0),所以直线l与椭圆恒有两个不同的交点M,N.
当直线l的斜率不存在时,其方程是:x=-1,代入
x2 |
4 |
| ||
2 |
| ||
2 |
| ||
2 |
∴以MN为直径的圆不经过坐标原点O
当直线l的斜率存在时,设方程是y=k(x+1),M(x1,y1),N(x2,y2)
由
|
∴x1+x2=
-8k2 |
1+4k2 |
4k2-4 |
1+4k2 |
因为以MN为直径的圆经过坐标原点O,所以
OM |
ON |
可得x1x2+y1y2=x1x2+k(x1+1)•k(x2+1)=(1+k2)x1x2+k2(x1+x2)+k2=0.
∴(1+k2)×
4k2-4 |
1+4k2 |
-8k2 |
1+4k2 |
∴k=±2
综上所述,过点B(-1,0)能作出直线l,使l与椭圆C交于M、N两点,且以MN为直径的圆经过坐标原点O,
方程为y=2x+2或y=-2x-2.
点评:本题考查椭圆的标准方程,考查直线与椭圆的位置关系,考查向量知识的运用,解题的关键是利用以MN为直径的圆经过坐标原点O时,
•
=0.
OM |
ON |
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