Question

定义域为R的偶函数f（x）满足对?x∈R，有f（x+2）=f（x）+f（1），且当x∈[2，3]时，f（x）=-2x²+12x-18，若函数y=f（x）-log_a（|x|+1）在R上恰有六个零点，则a的取值范围是（　　）

• A、（0，

  5

  5

  ）
• B、(

  5

  5

  ，1)
• C、(

  5

  5

  ，

  3

  3

  )
• D、(

  3

  3

  ，1)

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：根据定义域为R的偶函数f（x）满足对?x∈R，有f（x+2）=f（x）+f（1），可以令x=-1，求出f（1），再求出函数f（x）的周期为2，当x∈[2，3]时，f（x）=-2x²+12x-18，画出图形，根据函数y=f（x）-log_a（|x|+1）在（0，+∞）上恰有六个零点，利用数形结合的方法进行求解；

解答： 解：因为 f（x+2）=f（x）+f（1），且f（x）是定义域为R的偶函数
令x=-1 所以 f（-1+2）=f（-1）+f（1），f（-1）=f（1）
即 f（1）=0 则有，f（x+2）=f（x）
f（x）是周期为2的偶函数，
当x∈[2，3]时，f（x）=-2x²+12x-18=-2（x-3）²
图象为开口向下，顶点为（3，0）的抛物线
∵函数y=f（x）-log_a（|x|+1）在（0，+∞）上有六个零点，
令g（x）=log_a（|x|+1），
∵f（x）≤0，∴g（x）≤0，可得a＜1，
要使函数y=f（x）-log_a（|x|+1）在（0，+∞）上有六个零点，

如上图所示，只需要满足

g(2)＞-2 g(4)＜-2

，
解得

5

5

＜a＜

3

3

，
故选：C．

点评：本题重点考查函数的周期性与单调性，属于中档题，难度中．