题目内容

△ABC的面积S=2
3
，且
AB
•
BC
=4．
（1）求角B的大小；
（2）若|
AB
|=2|
BC
|且
AD
=2
DC
，求
AD
•
BD
．
考点：平面向量数量积的运算
专题：平面向量及应用
分析：（1）利用三角形的面积计算公式和数量积的定义即可得出；
（2）由已知和数量积的定义可得|
BA
|，|
BC
|，再利用三角形法则和数量积的运算法则即可得出．
解答： 解：（1）∵△ABC的面积S=2
3
，且
AB
•
BC
=4．
∴
1
2
|
BA
| |
BC
|sinB=2
3
，|
BA
| |
BC
|cos(π-B)=4，即|
BA
| |
BC
|cosB=-4，
∴tanB=-
3
．∴B=
2π
3
．
（2）如图所示，
联立
|
AB
|=2|
BC
|
|
BA
| |
BC
|•cos
2π
3
=-4
，解得|
BA
|=2|
BC
|=4．
∵
AD
=2
DC
，∴
AD
=
2
3
AC
．
∴
BD
=
AD
-
AB
=
2
3
AC
-
AB
．
又
AC
=
BC
-
BA
，
∴
AD
•
BD
=
2
3
(
BC
-
BA
)•[
2
3
(
BC
-
BA
)-
AB
]
=
2
9
(
BC
-
BA
)•(2
BC
+
BA
)
=
2
9
(2
BC
2-
BA
2-
BA
•
BC
)
=
2
9
(2×22-42+4)
=-
8
9
．
点评：本题考查了三角形的面积计算公式和数量积的定义及其运算法则、向量的三角形法则，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
在△ABC，若有∠A＞∠B，则下列不等式中
①sin∠A＞sin∠B； ②cos∠A＜cos∠B； ③sin2∠A＞sin2∠B； ④cos2A＜cos2∠B
你认为正确的序号为
 
．
过x轴正半轴上一点M（x0，0），作圆C：x2+(y-
2
)2=1的两条切线，切点分别为A，B，若|AB|≥
3
，则x0的最小值为（　　）
A、1
B、
2
C、2
D、3
定义域为R的偶函数f（x）满足对?x∈R，有f（x+2）=f（x）+f（1），且当x∈[2，3]时，f（x）=-2x2+12x-18，若函数y=f（x）-loga（|x|+1）在R上恰有六个零点，则a的取值范围是（　　）
A、（0，
5
5
）
B、(
5
5
，1)
C、(
5
5
，
3
3
)
D、(
3
3
，1)
函数f（x）=
x-1
+
4-x
的定义域是（　　）
A、∅
B、（-∞，1）∪[4，+∞）
C、（1，4）
D、[1，4]
用描述法表示图中阴影部分（含边界）的点构成的集合．
在△ABC中，设
cosB
3b
=
cosC
2c
=
cosA
a
，求cosA的值．
已知函数f（x）=
a
x
+x，g（x）=f（x）+lnx，a∈R．
（Ⅰ）当a=2时，求函数g（x）的单调区间；
（Ⅱ）当a=0时，记h（x）=g（x）-
1
2b
x2-x（b∈R且b≠0），求h（x）在定义域内的极值点；
（Ⅲ）?x1，x2∈[1，+∞）且x1＜x2，都有f（x1）-f（x2）＜lnx2-lnx1成立，求实数a的取值范围．
已知a∈R且a＞-1，函数f(x)=x3-
3
2
(3-a)x2+6(1-a)x，x∈R．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）g（a）为函数f（x）在[-1，3]上的最小值，求g（a）的解析式．

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