Question

12．已知椭圆M：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，点A是椭圆M与圆C：x²+（y-2$\sqrt{2}$b）²=$\frac{4}{9}$m²在第一象限的交点，且点A到F₂的距离等于$\frac{1}{3}$m，若椭圆M上一动点到点F₁与到点C的距离之差的最大值为2a-m，则椭圆M的离心率为$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 求得圆C的圆心和半径，运用椭圆的定义和三点共线的性质，可得当P在线段CF₂上时，|PF₂|+|PC|取得最小值|CF₂|，即有|PF₁|-|PC|的最大值为2a-m=2a-|CF₂|，再由直线CF₂：$\frac{x}{c}$+$\frac{y}{2\sqrt{2}b}$=1，联立圆的方程，求得交点A，代入椭圆方程，运用离心率公式即可得到所求值．

解答 解：圆C：x²+（y-2$\sqrt{2}$b）²=$\frac{4}{9}$m²的圆心C（0，2$\sqrt{2}$b），半径为$\frac{2}{3}$m，m＞0，
|AF₂|=$\frac{1}{3}$m，可得|AC|+|AF₂|=m，
由椭圆上一动点P到点F₁与到点C的距离之差的最大值为2a-m，
由椭圆的定义可得|PF₁|-|PC|=2a-|PF₂|-|PC|=2a-（|PF₂|+|PC|），
当P在线段CF₂上时，|PF₂|+|PC|取得最小值|CF₂|，
即有|PF₁|-|PC|的最大值为2a-m=2a-|CF₂|，
则|CF₂|=m，可得|CF₂|=|AC|+|AF₂|=m=$\sqrt{{c}^{2}+8{b}^{2}}$，
即有A在线段CF₂上，
由CF₂：$\frac{x}{c}$+$\frac{y}{2\sqrt{2}b}$=1，联立圆的方程x²+（y-2$\sqrt{2}$b）²=$\frac{4}{9}$m²，
解得x=$\frac{2}{3}$c，y=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$b．
即A（$\frac{2}{3}$c，$\frac{2\sqrt{2}}{3}$b），代入椭圆方程可得：
$\frac{4{c}^{2}}{9{a}^{2}}$+$\frac{8}{9}$=1，即a=2c，
则e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查椭圆的定义和方程及性质，考查直线和圆的位置关系，注意联立直线方程和圆方程求交点，考查三点共线的性质以及椭圆离心率的求法，属于中档题．