Question

（14分）

如图， ABCD为矩形，CF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，

AB=4a，BC= CF=2a， P为AB的中点.

（1）求证：平面PCF⊥平面PDE；

（2）求四面体PCEF的体积.

Answer 1

证明：

（1）因为ABCD为矩形，AB=2BC, P为AB的中点，

所以三角形PBC为等腰直角三角形，∠BPC=45°.     …………………………2分

同理可证∠APD=45°.

所以∠DPC=90°，即PC⊥PD.                       …………………………3分

又DE⊥平面ABCD，PC在平面ABCD内，所以PC⊥DE. ………………………4分 

因为DE∩PD=D ，所以PC ⊥PDE .                  …………………………5分

又因为PC在平面PCF内，所以平面PCF⊥平面PDE.  …………………………7分

【解】（2）因为CF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，

所以DE//CF. 又DC⊥CF，

所以              ……………………… 10分

在平面ABCD内，过P作PQ⊥CD于Q，则

PQ//BC，PQ=BC=2a.

因为BC⊥CD，BC⊥CF，

所以BC⊥平面PCEF，即PQ⊥平面PCEF，

亦即P到平面PCEF的距离为PQ=2a.                  ………………………12分

           ………………………14分

（注：本题亦可利用求得）