题目内容
（14分）
如图， ABCD为矩形，CF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，
AB=4a，BC= CF=2a， P为AB的中点.
（1）求证：平面PCF⊥平面PDE；
（2）求四面体PCEF的体积.
证明：
（1）因为ABCD为矩形，AB=2BC, P为AB的中点，
所以三角形PBC为等腰直角三角形，∠BPC=45°. …………………………2分
同理可证∠APD=45°.
所以∠DPC=90°，即PC⊥PD. …………………………3分
又DE⊥平面ABCD，PC在平面ABCD内，所以PC⊥DE. ………………………4分
因为DE∩PD=D ，所以PC ⊥PDE . …………………………5分
又因为PC在平面PCF内，所以平面PCF⊥平面PDE. …………………………7分
【解】（2）因为CF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，
所以DE//CF. 又DC⊥CF，
所以
……………………… 10分
在平面ABCD内，过P作PQ⊥CD于Q，则
PQ//BC，PQ=BC=2a.
因为BC⊥CD，BC⊥CF，
所以BC⊥平面PCEF，即PQ⊥平面PCEF，
亦即P到平面PCEF的距离为PQ=2a. ………………………12分
………………………14分
（注：本题亦可利用
求得）
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