Question

如图，ABCD为矩形草坪，AB=a（m），BC=b（m）（b＜a），现要在四边上分别取AE=CF=CG=AH=x（m），将中间部分四边形EFGH建为花坛，记花坛面积为S（m²）．
（1）将S表示为x的函数；
（2）当x为何值时，面积S最大，最大面积是多少？

Answer 1

分析：（1）分别求出矩形四个角落的三角形的面积，再利用矩形的面积减去四个角落的三角形的面积，可得四边形EFGH的面积S；
（2）先配方，确定函数的对称轴，再与函数的定义域结合，分类求出四边形EFGH的面积最大值．

解答：解：（1）由题意，BE=DG=a-x，BF=DH=b-x，则设四边形EFGH的面积为
S=ab-x²-（a-x）（b-x）=-2x²+（a+b）x，（0＜x≤b）；
（2）S_EFGH=-2x²+（a+b）x=-2（x-

a+b

4

）²+

(a+b)2

8

（0＜x≤b）
∵0＜b＜a，∴0＜b＜

a+b

2

若

a+b

4

≤b，即b＜a≤3b时，当x=

a+b

4

时，S_max=

(a+b)2

8

若

a+b

4

＞b，即a＞3b时，S（x）在（0，b]上为增函数，当x=b时，S_max=ab-b²．

点评：本题重点考查四边形面积的计算，考查利用配方法求二次函数的最值，应注意函数的对称轴与区间结合，确定分类的标准．