Question

如图，ABCD为矩形，CF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，AB=4a，BC=CF=2a，P为AB的中点．
（1）求证：平面PCF⊥平面PDE；
（2）求四面体PCEF的体积．

Answer 1

分析：（1）证明平面PCF内的直线PC，垂直平面PDE内的两条相交直线DE，PD，就证明了平面PCF⊥平面PDE；
（2）说明P到平面PCEF的距离为PQ=2a，求出S△CEF=

1

2

DC•CF的面积，然后求四面体PCEF的体积．

解答：证明：（1）因为ABCD为矩形，AB=2BC，P为AB的中点，
所以三角形PBC为等腰直角三角形，∠BPC=45°．
同理可证∠APD=45°．
所以∠DPC=90°，即PC⊥PD．
又DE⊥平面ABCD，PC在平面ABCD内，所以PC⊥DE．
因为DE∩PD=D，所以PC⊥PDE．
又因为PC在平面PCF内，所以平面PCF⊥平面PDE；
解：（2）因为CF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，
所以DE∥CF．又DC⊥CF，
所以S△CEF=

1

2

DC•CF=

1

2

×4a×2a=4a2．
在平面ABCD内，过P作PQ⊥CD于Q，则
PQ∥BC，PQ=BC=2a．
因为BC⊥CD，BC⊥CF，
所以BC⊥平面CEF，即PQ⊥平面CEF，
亦即P到平面CEF的距离为PQ=2a
.VPCEF=VP-CEF=

1

3

PQ•S△CEF=

1

3

•4a2•2a=

8

3

a3．
（注：本题亦可利用VP-CEF=VB-CEF=VE-BCF=VD-BCF=

1

6

DC•BC•CF=

8

3

a3求得）

点评：本题考查平面与平面垂直的判定，棱柱、棱锥、棱台的体积，考查逻辑思维能力，推理能力，转化思想，是中档题．