Question

如图，ABCD为矩形，CF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，AB=4a，BC=CF=2a，DE=a，P为AB的中点．
（1）求证：平面PCF⊥平面PDE；
（2）求证：AE∥平面BCF．

Answer 1

分析：（1）证明平面PCF内的直线PC，垂直平面PDE内的两条相交直线DE，PD，就证明了平面PCF⊥平面PDE；
（2）作FC中点M，连接EM、BM，证明平面BCF内的直线BM与平面外的直线AE平行，即可根据线面平行的判定定理得到答案．

解答：证明：（1）在矩形ABCD中，由AP=BP=BC=2a可得PC=PD=2

2

a…（1分）
又CD=4a，由勾股定理可得PD⊥PC…（3分）
因为CF⊥平面ABCD，则PD⊥CF…（5分）
由PC∩CF=C可得PD⊥平面PFC…（6分）
故平面PCF⊥平面PDE…（7分）
（2）作FC中点M，连接EM、BM
由CF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD可得CM∥DE，又CM=DE=a，得四边形DEMC为平行四边形
故ME∥CD∥AB，且ME=D=AB，所以四边形AEMB为平行四边形故AE∥BM…（12分）
又AE?平面BCF，BM?平面BCF，所以AE∥平面BCF．…（14分）

点评：本题考查平面与平面垂直的判定，以及线面平行的判定定理，考查逻辑思维能力，推理能力，转化思想，是中档题．