Question

设z1是虚数，z2=z1+

1

z1

是实数，且-1≤z2≤1
（1）求|z₁|的值以及z₁的实部的取值范围；
（2）若ω=

1-z1

1+z1

，求证：ω为纯虚数．

Answer 1

分析：（1）设出复数，根据两个复数之间的关系，写出z₂的表示式，根据这是一个实数，得到这个复数，根据条件中所给的取值范围，得到要求的a的取值．
（2）根据上一问设出的复数，表示出ω，进行复数除法的运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理变化，得到最简形式，得到这是一个纯虚数．

解答：解：（1）设z₁=a+bi（a，b∈R，且b≠0），
则z2=z1+

1

z1

=a+bi+

1

a+bi

=(a+

a

a2+b2

)+(b-

b

a2+b2

)i
∵z₂是实数，b≠0，
∴有a²+b²=1，即|z₁|=1，
∴可得z₂=2a，
由-1≤z₂≤1，得-1≤2a≤1，
解得-

1

2

≤a≤

1

2

，
即z₁的实部的取值范围是[-

1

2

，

1

2

]．
（2）ω=

1-z1

1+z1

=

1-a-bi

1+a+bi

=

1-a2-b2-2bi

(1+a)2+b2

=-

b

a+1

i
∵a∈[-

1

2

，

1

2

]，b≠0，
∴ω为纯虚数．

点评：本题考查复数的加减乘除运算，是一个综合题，解题时的运算量比较大，又用到复数的有关概念，注意解题时的格式．