Question

（本小题满分14分）已知椭圆过点，离心率为．过椭圆右顶点的两条斜率乘积为的直线分别交椭圆于两点．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）直线是否过定点？若过定点，求出点的坐标；若不过，请说明理由．

Answer 1

（1）；（2）.

【解析】

试题分析：本题主要考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的相交问题、韦达定理等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，椭圆过定点及离心率组成方程组解出和，从而得到椭圆的标准方程；第二问，利用第一问的结论，数形结合可知直线AM和直线AN的斜率存在且不为0，设出直线AM的方程，与椭圆方程联立，消参，利用韦达定理，可得到M点的横坐标，代入直线AM的方程中，再得到M点的纵坐标，同理，得到N点坐标，从而得到直线MN的方程，直接观察可知D点坐标.

试题解析：（1）由已知得，解得.

∴椭圆的标准方程为.

（2）由（1）可知椭圆右顶点.

由题意可知，直线AM和直线AN的斜率存在且不为0.

设直线AM的方程为.

∵，得.

成立.

∴，∴.

∴.

∴.

∵直线AM和直线AN的斜率乘积为，故可设直线AN的方程为.

同理，易得.

∴.

∴当时，即时，.

直线MN的方程为.

整理得：.

显然直线MN过定点.（点M、N关于原点对称）

当，即时，直线MN显然过定点.

综上所述，直线MN过定点.

考点：椭圆的标准方程、直线与椭圆的相交问题、韦达定理.