Question

12．椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F₁、F₂，若椭圆上存在一点P使得∠F₁PF₂=90°，且|PF₁|是|PF₂|和|F₁F₂|的等差中项，则椭圆的离心率e为（　　）

• A． $\frac{5}{7}$
• B． $\frac{2}{3}$
• C． $\frac{4}{5}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{4}$

Answer 1

分析 设|PF₁|=m，|PF₂|=n，由题意可得：$\left\{\begin{array}{l}{m+n=2a}\\{2m=n+2c}\\{{m}^{2}+{n}^{2}=4{c}^{2}}\end{array}\right.$，化简即可得出．

解答 解：设|PF₁|=m，|PF₂|=n，
由题意可得：$\left\{\begin{array}{l}{m+n=2a}\\{2m=n+2c}\\{{m}^{2}+{n}^{2}=4{c}^{2}}\end{array}\right.$，化为：$（\frac{2a+2c}{3}）^{2}$+$（\frac{4a-2c}{3}）^{2}$=4c²，
∴7e²+2e-5=0，0＜e＜1．
解得e=$\frac{5}{7}$，
故选：A．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、勾股定理、等差数列的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．