Question

2．过抛物线x²=4y的焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，2|AF|=|BF|+|BA|，则|AB|=（　　）

• A． 3
• B． $\frac{7}{2}$
• C． 4
• D． $\frac{9}{2}$

Answer 1

分析 由题意可设直线方程y=kx+1，与抛物线方程联立，化为关于y的一元二次方程，利用根与系数的关系得到A，B的纵坐标的乘积，结合2|AF|=|BF|+|BA|，求得A，B的纵坐标，则|AB|可求．

解答 解：由抛物线x²=4y，得F（0，1），
若直线l⊥x轴，不合题意；
设直线l的方程为y=kx+1，
代入x²=4y，得y²-（4k²+2）y+1=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则y₁+y₂=4k²+2，y₁y₂=1，①
∵|BF|+|BA|=2|FA|，∴|BF|+|BF|+|AF|=2|FA|，
∴|FA|=2|BF|，
即y₁+1=2（y₂+1），即
代入①得${y}_{2}=\frac{1}{2}$，∴y₁=2，
则|AB|=${y}_{1}+{y}_{2}+2=\frac{1}{2}+2+2=\frac{9}{2}$．
故选：D．

点评 本题考查抛物线的简单性质，考查运算求解能力，推理论证能力，考查化归与转化思想，是中档题．