Question

如图，直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=2，CB=CD=2 

3

，AA₁=

3

，AB⊥BC，AC与BD交于点E．
（1）求证：BD⊥A₁C；
（2）求二面角A₁-BD-C₁的大小；
（3）求异面直线AD与BC所成角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）由四棱柱的结构牲，可得AC是A₁C在平面ABCD上的射影，及AC⊥BD，由三垂线定理可得BD⊥A₁C；
（2）连接A₁E，C₁E，我们根据二面角的定义可得∠A₁EC₁为二面角A₁-BD-C₁的平面角，解△A₁EC₁，即可求出二面角A₁-BD-C₁的大小；
（ 3）过B作BF∥AD交CD于F，则∠FBC₁为异面直线AD与BC所成角，解Rt△BCF，即可求出异面直线AD与BC所成角的余弦值．

解答：解：（1）∵棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁为直四棱柱，
∴AA₁⊥平面ABCD，
又AB=AD，CB=CD，
故△ABC≌△ADC
则∠BAC=∠DAC
故AE为等腰△BAD中顶角的角平分线
故AE⊥BD
即AC⊥BD，AC是A₁C在平面ABCD上的射影，由三垂线定理知A₁C⊥BD                              …（4分）
（2）连接A₁E，C₁E，
∵E为AC与BD的交点且AC⊥BD，
∴A₁E⊥BD，C₁E⊥BD，
∴∠A₁EC₁为二面角A₁-BD-C₁的平面角，…（6分）
∵AB⊥BC，
∴AD⊥DC，
∴∠A₁D₁C₁=∠ADC=90°，
又∵A₁D₁=AD=2，D₁C₁=DC=2

3

，A₁A=

3

，AC⊥BD，
∴A₁C₁=4，AE=1，EC=3，
∴A₁E=2，C₁E=2

3

，
在△A₁EC₁中，A₁C₁²=A₁E²+C₁E²，
∴∠A₁EC₁=90°，
∴二面角A₁-BD-C₁为90°                                …（10分）
（ 3）∵AD⊥DC，
∴AD⊥平面CD₁，过B作BF∥AD交CD于F，
则∠FBC₁为所求的角，BF⊥平面CD₁，
∵AD=AB=2，AD⊥DC，AC⊥BD，
∴CD=CB=2

3

，
∴∠BCD=60°，
在Rt△BCF中，BF=BCsin60°=3，
∵BC₁=

15

，
∴cos∠FBC₁=

BF

BC1

=

15

5

∴异面直线AD与BC所成角的余弦值为

15

5

                …（14分）

点评：本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，异面直线及其所在的角，其中（1）的关键是引入三垂线定理证明线面垂直；（2）的关键是确定∠A₁EC₁为二面角A₁-BD-C₁的平面角，（3）的关键是确定∠FBC₁为异面直线AD与BC所成角．