Question

【题目】已知函数.

（1）讨论在上极值点的个数；

（2）若是函数的两个极值点，且恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）当时，在上无极值点；当时，在上有两个极值点；当时，在上只有一个极值点.；（2）.

【解析】

（1）首先求导得到，分类讨论的范围，求其单调区间，再根据单调区间即可得到极值点个数.

（2）首先根据题意得到，再令，构造函数，求出的最小值，即可得到实数的取值范围.

（1），令，

所以，，

①当，即时，恒成立，

即，为增函数，此时在上无极值点；

②当，即时，由得，，.

（i）若，则，

.

则，，为增函数，

，，为减函数，

，，为增函数，

故此时在上有两个极值点；

（ii）若，则，

而.

则，，为增函数，

，，为减函数，

故此时在上只有一个极值点；

综上可知，当时，在上无极值点；

当时，在上有两个极值点；

当时，在上只有一个极值点.

（2）因为是函数的两个极值点，

所以令，得是方程的两根，

所以，即：，，.

令，则，，

又，

所以在区间内单调递减，，即.

所以，即实数的取值范围是.