Question

【题目】设函数.

（1）当求函数的单调区间和极值；

（2）若存在满足，证明：成立.

Answer 1

【答案】（1）当时，在上单调递增没有极值；当时，在上单调递增，在上单调递减，极小值为；（2）证明见解析.

【解析】

（1）由时，求得导数，结合导数的符号，求得函数的单调性，进而求解极值；

（2）由，得到，由于的极小值点为，可设，设，根据函数的单调性求出，即可求解.

（1）由时，函数，则，

令，解得；令，解得；

所以函数在上单调递减；在上单调递增；

当时，函数有极小值，极小值为，无极大值.

（2）由，可得，从而得，

由，则，

由（1）知，当时，从而得在上单调递增没有极值，不符合题意；

当时，，可得；

可得得，得，

所以函数在上单调增，在上单调减，

可设

设

，仅当时取得“”

所以在为单调递增函数且

当，时有，即

又由，所以

又由(1)知在上单调递减，且，

所以从而得证成立.