Question

20．长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=4，AD=3，AA₁=2$\sqrt{6}$，则AC₁与BD所成角的余弦值为$\frac{1}{5}$．

Answer 1

分析 可考虑用空间向量求解：可分别以A₁D₁，A₁B₁，A₁A三直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，从而可求A，C₁，B，D四点的坐标，进而得出向量$\overrightarrow{A{C}_{1}}$和$\overrightarrow{BD}$的坐标，这样便可求出向量$\overrightarrow{A{C}_{1}}$，$\overrightarrow{BD}$夹角的余弦值，从而便可得出异面直线AC₁，BD所成角的余弦值．

解答 解：如图，分别以边A₁D₁，A₁B₁，A₁A所在直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则：
A（0，0，$2\sqrt{6}$），C₁（3，4，0），B（0，4，$2\sqrt{6}$），D（3，0，$2\sqrt{6}$）；
∴$\overrightarrow{A{C}_{1}}=（3，4，-2\sqrt{6}）$，$\overrightarrow{BD}=（3，-4，0）$；
∴$cos＜\overrightarrow{A{C}_{1}}，\overrightarrow{BD}＞=\frac{\overrightarrow{A{C}_{1}}•\overrightarrow{BD}}{|\overrightarrow{A{C}_{1}}||\overrightarrow{BD}|}=\frac{9-16}{7×5}=-\frac{1}{5}$；
∴AC₁与BD所成角的余弦值为$\frac{1}{5}$．
故答案为：$\frac{1}{5}$．

点评 考查通过建立空间直角坐标系，利用空间向量解决异面直线所成角的问题的方法，能求空间点的坐标，由点的坐标可以确定向量的坐标，清楚异面直线所成角的范围．