Question

8．设f（x）是连续函数，且f（x）=x+3${∫}_{0}^{1}f（t）dt$，则f（x）=x-$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 根据${∫}_{0}^{1}$f（t）dt是常数值，得出f（x）是一次函数，利用待定系数法即可求出f（x）的解析式．

解答 解：∵f（x）为连续函数，且f（x）=x+3${∫}_{0}^{1}$f（t）dt，
不妨设3${∫}_{0}^{1}$f（t）dt=b（b为常数），
∴f（x）=x+b，
∴f（x）=x+3${∫}_{0}^{1}$f（t）dt
=x+3${∫}_{0}^{1}$（t+b）dt
=x+3（$\frac{1}{2}$t²+tb）${|}_{0}^{1}$
=x+$\frac{3}{2}$+3b，
∴$\frac{3}{2}$+3b=b，
解得b=-$\frac{3}{4}$，
∴f（x）=x-$\frac{3}{4}$．
故答案为：x-$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查了利用待定系数法求函数解析式的应用问题，也考查了定积分简单应用问题，是综合性题目．