题目内容
设e1，e2分别为具有公共焦点F1与F2的椭圆和双曲线的离心率，P为两曲线的一个公共点，且满足
•
=0，则4e12+e22的最小值为（ ）A．3
B．
C．4
D．
【答案】分析：利用椭圆、双曲线的定义，确定a2+m2=2c2，利用离心率的定义，结合基本不等式，即可得出结论．
解答：解：由题意设焦距为2c，椭圆的长轴长2a，双曲线的实轴长为2m，不妨令P在双曲线的右支上
由双曲线的定义|PF1|-|PF2|=2m ①
由椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2a ②
又
•
=0，∴∠F1PF2=90°，故|PF1|2+|PF2|2=4c2 ③
①2+②2得|PF1|2+|PF2|2=2a2+2m2④
将④代入③得a2+m2=2c2，
∴4e12+e22=
=
+
≥
+
=
故选B．
点评：本题考查椭圆、双曲线的定义，考查基本不等式的运用，属于中档题．
解答：解：由题意设焦距为2c，椭圆的长轴长2a，双曲线的实轴长为2m，不妨令P在双曲线的右支上
由双曲线的定义|PF1|-|PF2|=2m ①
由椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2a ②
又
•
=0，∴∠F1PF2=90°，故|PF1|2+|PF2|2=4c2 ③①2+②2得|PF1|2+|PF2|2=2a2+2m2④
将④代入③得a2+m2=2c2，
∴4e12+e22=
=
+
≥
+
=
故选B．
点评：本题考查椭圆、双曲线的定义，考查基本不等式的运用，属于中档题．
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