题目内容

设e1，e2分别为具有公共焦点F1与F2的椭圆和双曲线的离心率，P为两曲线的一个公共点，且满足
PF1
•
PF2
=0，则
e
2
1
+
e
2
2
(e1e2)2
的值为（　　）
A、
1
2
B、1
C、2
D、不确定
分析：设椭圆和双曲线的方程为：
x2
m
+
y2
n
=1(m＞n＞0)和
x2
a 
-
y2
b
=1(a＞0，b＞0)．由题设条件可知 |PF1|+|PF2|=2
m
，|PF1|-|PF2|=2
a
，结合
PF1
•
PF2
=0，由此可以求出
e
2
1
+
e
2
2
(e1e2)2
的值．
解答：精英家教网解：设椭圆和双曲线的方程为：
x2
m
+
y2
n
=1(m＞n＞0)和
x2
a 
-
y2
b
=1(a＞0，b＞0)．
∵|PF1|+|PF2|=2
m
，|PF1|-|PF2|=2
a
，
∴|PF1| =
m
+
a
，|PF2|=
m
-
a
，
∵满足
PF1
•
PF2
=0，
∴△PF1F2是直角三角形，
∴|PF1|2+|PF2|2=4c2．
即m+a=2c2
则
e
2
1
+
e
2
2
(e1e2)2
=
1
e
2
1
+
1
e
2
2
=
m
c 2
+
a
c2
=
m+a
c2
=2
故选C．
点评：本题综合考查双曲线和椭圆的性质，解题时注意不要把二者弄混了．
练习册系列答案
相关题目
设e1．e2分别为具有公共焦点F1与F2的椭圆和双曲线的离心率，P为两曲线的一个公共点，且满足
.
PF1
•
.
PF2
=0，则
1
e
2
1
+
1
e
2
2
的值为（　　）
A、
1
2
B、1
C、2
D、4
（2012•长春一模）设e1、e2分别为具有公共焦点F1、F2的椭圆和双曲线的离心率，P是两曲线的一个公共点，且满足|
P F1
+
PF2
|=|
F1F2
|，则
e1e2
e
2
1
+
e
2
2
的值为（　　）
（2008•盐城一模）设e1，e2分别为具有公共焦点F1与F2的椭圆和双曲线的离心率，P为两曲线的一个公共点，且满足
PF1
•
PF2
=0，则
e
2
1
+
e
2
2
(e1e2)2
的值为
2
2
．
（2013•聊城一模）设e1，e2分别为具有公共焦点F1与F2的椭圆和双曲线的离心率，P为两曲线的一个公共点，且满足
PF1
•
PF2
=0，则4e12+e22的最小值为（　　）

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