题目内容

（2013•聊城一模）设e1，e2分别为具有公共焦点F1与F2的椭圆和双曲线的离心率，P为两曲线的一个公共点，且满足
PF1
•
PF2
=0，则4e12+e22的最小值为（　　）
分析：利用椭圆、双曲线的定义，确定a2+m2=2c2，利用离心率的定义，结合基本不等式，即可得出结论．
解答：解：由题意设焦距为2c，椭圆的长轴长2a，双曲线的实轴长为2m，不妨令P在双曲线的右支上
由双曲线的定义|PF1|-|PF2|=2m  ①
由椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2a  ②
又
PF1
•
PF2
=0，∴∠F1PF2=90°，故|PF1|2+|PF2|2=4c2   ③
①2+②2得|PF1|2+|PF2|2=2a2+2m2④
将④代入③得a2+m2=2c2，
∴4e12+e22=
4c2
a2
+
c2
m2
=
5
2
+
2m2
a2
+
a2
2m2
≥
5
2
+2
2m2
a2
•
a2
2m2
=
9
2

故选B．
点评：本题考查椭圆、双曲线的定义，考查基本不等式的运用，属于中档题．
练习册系列答案
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（2013•聊城一模）已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为
1
2
，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线x-y+
6
=0相切．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
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81
81
．
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3
+i
(1-i)2
，则|z|=（　　）
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