Question

4．某中学在运动会期间举行定点投篮比赛，规定每人投篮3次，投中一球得1分，没有投中得0分，假设每次投篮投中与否是相互独立的．已知小明每次投篮投中的概率都是$\frac{1}{3}$．
（1）求小明在投篮过程中直到第三次才投中的概率；
（2）求小明在3次投篮后的总得分ξ的分布列．

Answer 1

分析 （1）设小明第i次投篮投中为事件A_i，则小明在投篮过程中直到第三次才投中是指小明前两次都没中，第三次中，由此能求出结果．
（2）由题意知随机变量ξ～B（3，$\frac{1}{3}$），由此能求出ξ的分布列．

解答 解：（1）设小明第i次投篮投中为事件A_i，
则小明在投篮过程中直到第三次才投中的概率为
P=P（A₁）•P（A₂）•P（A₃）=$\frac{2}{3}$×$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{3}$=$\frac{4}{27}$．…（4分）
（2）由题意知随机变量ξ～B（3，$\frac{1}{3}$），则
P（ξ=0）=$C_3^0$（$\frac{1}{3}$） ⁰（$\frac{2}{3}$）³=$\frac{8}{27}$，
P（ξ=1）=$C_3^1$（$\frac{1}{3}$）（$\frac{2}{3}$）²=$\frac{4}{9}$，
P（ξ=2）=$C_3^2$（$\frac{1}{3}$）²（$\frac{2}{3}$）=$\frac{2}{9}$，
P（ξ=3）=$C_3^3$（$\frac{1}{3}$）³ （$\frac{2}{3}$）⁰=$\frac{1}{27}$，…（10分）
∴ξ的分布列为

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{8}{27}$	$\frac{4}{9}$	$\frac{2}{9}$	$\frac{1}{27}$

…（12分）

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意二项分布的性质的合理运用．