Question

11．设计人员要用10米长的材料（材料的宽度不计）建造一个窗子的边框，如图所示，窗子是由一个矩形ABCD和以AD为直径的半圆组成，窗子的边框不包括矩形的AD边，设半圆的半径为OA=r（米），窗子的透光面积为S（平方米）．
（1）r为何值时，S有最大值？
（2）窗子的半圆部分采用彩色玻璃，每平方米造价为300元，窗子的矩形部分均采用透明玻璃，每平方米造价为100元，r=1时，900元的造价够用吗？说明理由．

Answer 1

分析 （1）设半圆的半径为OA=r（米），可得矩形的宽为2r，半圆的弧长为πr，可得矩形的高为$\frac{1}{2}$（10-2r-πr），运用半圆的面积和矩形的面积，即可所求透光面积S的解析式，由二次函数的最值求法，即可得到所求r；
（2）由r=1，分别求出窗子的半圆部分的造价和窗子的矩形部分的造价，求和，即可判断是否够用．

解答 解：（1）设半圆的半径为OA=r（米），
可得矩形的宽为2r，半圆的弧长为πr，
可得矩形的高为$\frac{1}{2}$（10-2r-πr），
窗子的透光面积为S=$\frac{1}{2}$πr²+$\frac{1}{2}$（10-2r-πr）•2r
=（-2-$\frac{1}{2}$π）r²+10r，（0＜r＜$\frac{10}{2+π}$），
当r=-$\frac{10}{2（-2-\frac{1}{2}π）}$=$\frac{10}{4+π}$（米），S有最大值；
（2）由题意可得r=1时，窗子的半圆部分的造价为$\frac{1}{2}$π•1²•300=150π（元），
窗子的矩形部分的造价为2•$\frac{1}{2}$（10-2-π）•100=800-100π（元），
可得总造价为150π+800-100π=800+50π＞900，
则r=1时，900元的造价不够用．

点评 本题考查函数在实际问题中的运用，考查二次函数的最值的求法，注意运用二次函数的性质，同时考查化简整理的运算能力，属于中档题．