Question

14．已知圆C：x²+y²-4ax-2ay+20a-25=0
（1）求证：对任意a∈R．圆C恒过定点
（2）当a变化时，求圆心的轨迹方程．

Answer 1

分析 （1）圆即x²+y²-（4x+2y-20）a-25=0，它一定经过x²+y²=25 和直线4x+2y-20=0的交点M，再由$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}{+y}^{2}=25}\\{4x+2y-20=0}\end{array}\right.$ 求得定点M的坐标．
（2）当a变化时，易知圆C：x²+y²-4ax-2ay+20a-25=0的圆心N（2a，a），显然点N在直线x-2y=0 上，从而得出结论．

解答 解：（1）证明：∵圆C：x²+y²-4ax-2ay+20a-25=0，即x²+y²-（4x+2y-20）a-25=0，
∴它一定经过x²+y²=25 和直线4x+2y-20=0的交点M．
再由$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}{+y}^{2}=25}\\{4x+2y-20=0}\end{array}\right.$，求得定点M的坐标为（3，4）或（5，0）．
（2）当a变化时，∵圆C：x²+y²-4ax-2ay+20a-25=0的圆心N（2a，a），
显然点N在直线y=$\frac{1}{2}$x上，即圆心的轨迹方程为x-2y=0．

点评 本题主要考查圆的一般方程和标准方程，求直线和圆的交点的坐标，轨迹方程的求法，属于中档题．