Question

5．在三棱锥A-BCD中，AC=BD=3，AD=BC=4，AB=CD=m，则m的取值范围是（　　）

• A． （1，5）
• B． （1，7）
• C． （$\sqrt{7}$，7）
• D． （$\sqrt{7}$，5）

Answer 1

分析 把三棱锥A-BCD放置于一个长方体中，由长方体棱长和面对角线的关系推出m＜5，再由∠BAC为锐角得到
3²+m²-4²＞0，由此推得m$＞\sqrt{7}$．

解答 解：将三棱锥A-BCD放置于一个长方体中，
如图：
设长方体过一个顶点的三条棱长分别为a，b，c，
则$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}+{b}^{2}=9}\\{{b}^{2}+{c}^{2}=16}\\{{a}^{2}+{c}^{2}={m}^{2}}\end{array}\right.$，
∴a²+c²+2b²=25，
则m²=a²+c²＜a²+c²+2b²=25，∴m＜5；
∵△BNC为△BAC的射影，且∠BNC=90°，∴∠BAC为锐角．
则3²+m²-4²＞0，即$m＞\sqrt{{4}^{2}-{3}^{2}}=\sqrt{7}$．
∴m的取值范围是（$\sqrt{7}$，5）．
故选：D．

点评 本题考查棱锥的结构特征，考查了学生的空间想象能力和思维能力，体现了数学转化思想方法，是中档题．