Question

9．已知f（x）=$\sqrt{{x}^{2}-1}$，试判断f（x）在[1，+∞）上的单调性，并证明．

Answer 1

分析 运用单调性的定义判断得出：f（x₁）-f（x₂）=$\sqrt{{{x}_{1}}^{2}-1}$$-\sqrt{{{x}_{2}}^{2}-1}$=$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）（{x}_{1}+{x}_{2}）}{\sqrt{{{x}_{1}}^{2}-1}+\sqrt{{{x}_{2}}^{2}-1}}$，运用定义判断符号，就可以得出f（x₁）＜f（x₂），利用单调性的定义判断即可．

解答 证明：设x₁，x₂∈[1，+∞），且x₁＜x₂．
f（x₁）-f（x₂）=$\sqrt{{{x}_{1}}^{2}-1}$$-\sqrt{{{x}_{2}}^{2}-1}$=$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）（{x}_{1}+{x}_{2}）}{\sqrt{{{x}_{1}}^{2}-1}+\sqrt{{{x}_{2}}^{2}-1}}$
∵x₁，x₂∈[1，+∞），且x₁＜x₂．
∴x₁-x₂＜0，x₁+x₂＞0，$\sqrt{{{x}_{1}}^{2}-1}$≥0，$\sqrt{{{x}_{2}}^{2}-1}$＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在[1，+∞）上的单调递增．

点评 本题考查了函数的单调性的定义，关键是利用差比法分解因式，难度不大，属于中档题．