Question

3．已知函数f（x）=$\frac{{x}^{2}}{ax+b}$（a，b为常数），且方程f（x）-x+12=0有两个实根为x₁=3，x₂=4．
（1）求函数f（x）的解析式
（2）若$\frac{1}{f（x）}$+k-1＞0恒成立，求k的范围．

Answer 1

分析 （1）由f（x）解析式得方程，把方程的解代入得关于a，b的方程组，求出a，b即可．
（2）$\frac{1}{f（x）}$+k-1＞0恒成立，则k＞1+$\frac{x-2}{{x}^{2}}$，求出右边的最大值，即可求k的范围．

解答 解：（1）依已知条件可知方程f（x）-x+12=0即为$\frac{{x}^{2}}{ax+b}$-x+12=0
∵x₁=3，x₂=4是上述方程的解，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{9}{3a+b}-3+12=0}\\{\frac{16}{a+b}-4+12=0}\end{array}\right.$，解得a=-1，b=2，
则函数的解析式为f（x）=-$\frac{{x}^{2}}{x-2}$；
（2）$\frac{1}{f（x）}$+k-1＞0恒成立，则k＞1+$\frac{x-2}{{x}^{2}}$，
∵1+$\frac{x-2}{{x}^{2}}$=-2（$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{4}$）²+$\frac{9}{8}$≤$\frac{9}{8}$，
∴k＞$\frac{9}{8}$．

点评 用待定系数法求函数解析式是一种常用的重要的方法，是基本技能，分离参数求最值是解决恒成立问题的常用方法．