Question

已知：等差数列{a_n}中，a₃+a₄=15，a₂a₅=54，公差d＜0．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）求

Sn-an

n

的最大值及相应的n的值．

Answer 1

考点：等差数列的性质

专题：导数的综合应用,等差数列与等比数列

分析：（1）利用等差数列的性质结合已知列式求得首项和公差，代入等差数列的通项公式得答案；
（2）求出等差数列的前n项和，代入

Sn-an

n

整理，然后利用导数求最值，且求出n的值．

解答： 解：（1）∵数列{a_n}为等差数列，
∴a₂+a₅=a₃+a₄=15，
∴

a2+a5=15 a2a5=54

，解得

a2=6 a5=9

或

a2=9 a5=6

，
∵d＜0，
∴a₂=9，a₅=6，
则a₁=10，d=-1．
∴a_n=11-n；
（2）∵a₁=10，a_n=11-n，
∴Sn=-

1

2

n2+

21

2

n，

Sn-an

n

=

- 1 2 n2+ 21 2 n-(11-n)

n

=-

1

2

(n+

22

n

)+

23

2

．
令f(x)=x+

22

x

，f′(x)=1-

22

x2

=0，
知f(x)在(0，

22

)上单减，在(

22

，+∞)上单增，
又4＜

22

＜5，
而f(4)=9

1

2

＞f(5)=9

2

5

．
∴当n=5时，

Sn-an

n

取最大值为-

1

2

×

47

5

+

23

2

=

34

5

．

点评：本题考查了等差数列的性质，考查了等差数列的前n项和，训练了利用导数研究函数的单调性，是中档题．