Question

4．正四棱锥S-ABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SO=OD，则直线BC与平面PAC所成的角是（　　）

• A． 30°
• B． 45°
• C． 60°
• D． 90°

Answer 1

分析 由题意由于图中已有了两两垂直的三条直线，所以可以建立空间直角坐标系，先准确写出个点的坐标，利用线面角和线与平面的法向量所构成的两向量的夹角之间的关系即可求解．

解答 解：如图所示，以O为原点建立空间直角坐标系O-xyz．
设OD=SO=OA=OB=OC=a，
则A（a，0，0），B（0，a，0），C（-a，0，0），P（0，-$\frac{a}{2}$，$\frac{a}{2}$）．
则$\overrightarrow{CA}$=（2a，0，0），$\overrightarrow{PA}$=（-a，-$\frac{a}{2}$，$\frac{a}{2}$），
设平面PAC的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{2ax=0}\\{-ax-\frac{a}{2}y+\frac{a}{2}z=0}\end{array}\right.$，
可求得$\overrightarrow{n}$=（0，1，1），
则cos＜$\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{1}{2}$．
∴＜$\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{n}$＞=60°，
∴直线BC与平面PAC所成的角为90°-60°=30°．
故选A．

点评 此题重点考查了直线与平面所成的角的概念及利用空间向量的方法求解空间中的直线与平面的夹角．