题目内容

（2012•道里区二模）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为
x=3-
2
2
t
y=
5
+
2
2
t
（t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=2
5
sinθ．
（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；
（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A，B，若点P的坐标为（3，
5
），求|PA|+|PB|．
分析：（Ⅰ）把ρ=2
5
sinθ两边同时乘以ρ，把 x=ρcosθ，y=ρsinθ 代入可得圆C的直角坐标方程．
 （Ⅱ）将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得 t2-3
2
t+4=0，根据直线l的参数方程中参数的几何意义可得|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2，再利用一元二次方程根与系数的关系求出结果．
解答：解：（Ⅰ）由ρ=2
5
sinθ 得 x2+y2-2
5
y=0 即 x2+(y-
5
)2=5．
（Ⅱ）将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得 (3-
2
2
t)2+(
2
2
t)2=5，即 t2-3
2
t+4=0．
由于△=(3
2
)2-4×4=2＞0，故可设 t1、t2是上述方程的两实根，所以
t1+t 2=3
2
t1•t2=4
．
直线l过点P（3，
5
），故由上式及t的几何意义得：|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2=3
2
．
点评：本小题主要考查直线的参数方程、圆的极坐标方程、直线与圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力．
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3
2
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3
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•
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2
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2
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