Question

2．设a、b为实数，求证：$\frac{\sqrt{1+{a}^{2}}+\sqrt{1+{b}^{2}}}{2}$≥$\sqrt{1+（\frac{a+b}{2}）^{2}}$．

Answer 1

分析 运用分析法证明，通过两边平方和移项合并，化简整理，即可得证．

解答 证明：运用分析法证明．
要证$\frac{\sqrt{1+{a}^{2}}+\sqrt{1+{b}^{2}}}{2}$≥$\sqrt{1+（\frac{a+b}{2}）^{2}}$，
两边平方，即证1+a²+1+b²+2$\sqrt{（1+{a}^{2}）（1+{b}^{2}）}$≥4+（a+b）²，
移项，合并，可得$\sqrt{（1+{a}^{2}）（1+{b}^{2}）}$≥ab+1，
若ab+1≤0，上式显然成立；
若ab+1＞0，两边平方，可得（1+a²）（1+b²）≥a²b²+2ab+1，
化为a²+b²≥2ab，即有（a-b）²≥0，
上式显然成立．
故原不等式成立．

点评 本题考查不等式的证明，注意运用分析法证明，两边平方和化简变形是解题的关键，属于中档题．