Question

4．已知函数f（x）=Asin（x+φ）（A＞0，0＜φ＜π）的最大值是1，其图象经过点M（$\frac{π}{3}$，$\frac{1}{2}$），则f（$\frac{3π}{4}$）=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 由已知函数f（x），得出A的值，再根据函数图象过点M，求出φ的值，即可写出f（x）的解析式，进而利用诱导公式及特殊角的三角函数值即可计算得解．

解答 解：由函数f（x）=Asin（x+φ）（A＞0，0＜φ＜π），x∈R的最大值是1，
∴A=1；
又其图象经过点M（$\frac{π}{3}$，$\frac{1}{2}$），
∴sin（$\frac{π}{3}$+φ）=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{π}{3}$+φ=$\frac{π}{6}$+2kπ，或$\frac{π}{3}$+φ=$\frac{5π}{6}$+2kπ，k∈Z；
∴φ=-$\frac{π}{6}$+2kπ，或φ=$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z；
又0＜φ＜π，
∴φ=$\frac{π}{2}$；
∴f（x）=sin（x+$\frac{π}{2}$）=cosx；…（4分）
∴f（$\frac{3π}{4}$）=cos$\frac{3π}{4}$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$…（6分）
故答案为：-$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查了同角的三角函数关系与两角差的余弦公式的应用问题，也考查了三角函数的图象与性质的应用问题，属于基础题．